Feynrules memo

This is a memo for FeynRules.

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ダウンロードして解凍すればおしまい。
使うときはMathematicaからその都度読み出す仕様。

Field

mass eigenstate / gauge eigenstate でオプションが違う。うっかり不必要なオプションを書くとエラーも出さずにに変な結果を出すという仕様なので、気をつけないといけない。

例：SU(2) doubelt, hypercharge +1/2, vectorlike fermion.

mass eigenstate

  F[5] == {
    ClassName        -> DMUP,
    SelfConjugate    -> False,
    Mass             -> {MDDM, Internal},
    Width            -> {WDDM, 6.66},
    QuantumNumbers   -> {Q -> +1},
    PropagatorLabel  -> {"~DMUP"},
    PropagatorType   -> Straight,
    PropagatorArrow  -> Forward,
    PDG              -> {990002},
    ParticleName     -> {"~DMup"},
    AntiParticleName -> {"~DMup~"},
    FullName         -> {"up-type-DM"}
  },

  F[6] == {
    ClassName        -> DMDOWN,
    SelfConjugate    -> False,
    Mass             -> {MDDM, Internal},
    Width            -> {WDDM, 6.66},
    QuantumNumbers   -> {Q -> 0},
    PropagatorLabel  -> {"~DMDOWN"},
    PropagatorType   -> Straight,
    PropagatorArrow  -> Forward,
    PDG              -> {990003},
    ParticleName     -> {"~DMdown"},
    AntiParticleName -> {"~DMdown~"},
    FullName         -> {"down-type-DM"}
  },

gauge eigenstate

  F[22] == {
    ClassName        -> DDM,
    SelfConjugate    -> False, 
    Indices          -> {Index[SU2D]},
    Unphysical	     -> True,
    FlavorIndex      -> SU2D,
    QuantumNumbers    -> {Y -> 1/2},
    Definitions    -> { DDM[sp_,1] :> DMUP[sp], DDM[sp_,2] :> DMDOWN[sp] }
  }

Majorana fermion

まず、Weyl fermionを定義する。ParticleName->はしない。

  W[1] == {
    ClassName        -> DMsinglet,
    Chirality	     -> Left,
    SelfConjugate    -> False,
    Unphysical 	     -> True
  },

次にこれを４成分にする。ParticleNameをしてよい。
SelfConjugate はマヨラナなので Trueにする。

  F[21] == {
    ClassName        -> SDM,
    SelfConjugate    -> True, (* because Mojarana *)
    WeylComponents   -> DMsinglet,
    Mass             -> {MSDM, Internal},
    Width            -> {WSDM, 6.66},
    MajoranaPhase    -> 0,
    ParticleName     -> "~S",
    FullName         -> "singlet-DM",
    PDG              -> 990012,
    PropagatorLabel  -> "~S",
    PropagatorType   -> S,
    PropagatorArrow  -> Forward
  }

Lagrangianは Weylで書いて、WeylToDiracコマンドを使う。

LSingletW := (
  I*(DMsingletbar.sibar[mu].del[DMsinglet, mu]) 
- (1/2) MMAJOS DMsinglet.DMsinglet 
- 1/2 MMAJOS DMsingletbar.DMsingletbar
);

LSinglet := WeylToDirac[LSingletW]

４成分の方を使うと何故かうまくいかない

(Bad Example)
LSinglet := (1/2) I*(SDMbar.GA[mu].del[SDM, mu]) - 1/2 MMAJOS SDMbar.SDM;

Dirac fermion from Weyl fermion

まず、Weyl fermionを定義する。ParticleName->はしない。

  W[1] == {
    ClassName        -> chi,
    Chirality	     -> Left,
    SelfConjugate    -> False,
    Unphysical 	     -> True
  },

  W[2] == {
    ClassName        -> xi,
    Chirality	     -> Left,
    SelfConjugate    -> False,
    Unphysical 	     -> True
  },

次にこれを４成分にする。ParticleNameをしてよい。
SelfConjugate False。

  F[21] == {
    ClassName        -> SDM,
    SelfConjugate    -> False,
    WeylComponents   -> {chi, xibar},
    Mass             -> {MSDM, Internal},
    Width            -> {WSDM, 6.66},
    MajoranaPhase    -> 0,
    ParticleName     -> "~S",
    FullName         -> "singlet-DM",
    PDG              -> 990012,
    PropagatorLabel  -> "~S",
    PropagatorType   -> S,
    PropagatorArrow  -> Forward
  }

Lagrangianを Weylで書くと、WeylToDiracコマンドを使う。

LtestW := (
  I*(test1bar.sibar[mu].del[test1, mu]) 
+ I*(test2.si[mu].del[test2bar, mu]) 
- MMAJOS test1.test2
- MMAJOS test1bar.test2bar
);

Ltest := WeylToDirac[LtestW]

Error messages

怒っているのはわかるがどうして欲しいのかわからない事が多い。わかった対処法を書いておく。

[1] Get::noopen: "Cannot open "FAToFR.m"."

無視せよ。FAToFR.m というファイルが無いと怒っているが、そもそもそんなファイルは無い。

[2] Weyl::Chirality: Warning: Dirac fermions must have both a left and right-handed Weyl component.

Mass ->{mh, 125},

[3] Part::partd: Part specification Null[[1]] is longer than depth of object.

M$MixingsDescription = {
  Mix["MM"] == { 
      MassBasis     -> {DM1[_], DM2[_], DM3[_]}
    ,  ...
    , Inverse 	    -> True

}

};

[4] Warning: Complex piece found in parameter Vmat1x3. Setting it equal to its real part.
　　Warning: Complex parts of parameters are set to their real part. Further printing suppressed.

Value -> { Vmat[i_,j_]:> ReV[i,j]+I*ImV[i,j]}

で定義したら、calchep file を作るときにでたエラーメッセージ。勝手に実数化されても非常に困るが、どうしていいかわからなかったため、 ~~calchep file の func1.mdlの該当箇所を手で直した。そのとき虚数単位は大文字ではなく小文字を使う事。つまり I ではなく i を使う事。~~

手で直すと、いろんなところに不具合が生じる、例えばカップリングが正しく定義されなかったりする。なので、このエラーがでたときは、Calchepの模型ファイルは信用できない。対処法は、複素数のカップリングをいっさい使わないこと。上の例でいえば、Vmat を使って、場やラグランジアンを書くと非常に便利だが、それをせずに、ReV と ImV であらわに全てを書けばよい。ただし、そのぶん、ラグラジアンがむやみに複雑になるので、模型ファイルを書くときに時間がかかるようになる。(１秒で終わっていたのが１０分程度かかるようになった。)　FeynArtsのファイルでは複素を使っても怒られないので、FeynArts用とCalchep用で、別のfrファイルを用意した方がいいのかもしれない。

Value and Definitions

Ghost terms

Vectorize という関数は、２次元複素ベクトルを４次元実ベクトルに変換する関数である。 SM の Higgs field の各成分を読み取るために導入されている。つまり { a + i b , c + i d}/sqrt{2} ==> {a, b, c, d} とする。

In[1]:= Vectorize[{ (a + I*b)/Sqrt[2] , (c + I*d)/Sqrt[2] }]
Out[1]= {a,b,c,d}

ゴースト場は {U(1), SU(2)} の順に４成分.
doublet は the SM Higgs field の VEV 以外の部分.
doublet0 は the SM Higgs field の VEV の部分, {0, vev/sqrt{2} }

gh = {ghB, ghWi[1], ghWi[2], ghWi[3]};
ghbar = {ghBbar, ghWibar[1], ghWibar[2], ghWibar[3]};
doublet = Expand[{(-I phi1 - phi2)/Sqrt[2], Phi[2]} /. vev -> 0];
doublet0 = {0, vev/Sqrt[2]};

generators は the SM Higgs field にとってのゲージ変換の生成子の(-1)倍。ゲージカップリングも付随する。左から {U(1), SU(2)} で４成分。SU(2) は 1, 2, 3 成分。+,-,3 ではない。

generators = {-I/2 g1 IdentityMatrix[2], -I/2 gw PauliSigma[1], -I/2 gw PauliSigma[2], -I/2 gw PauliSigma[3]};

ヒッグス場の無限小のゲージ変換を下のち、4成分に直したものをつくり 4x4 行列を作る。

LGhphi = Plus @@ 
    Flatten[Table[-ghbar[[kkk]].gh[[lll]] 
         Vectorize[generators[[kkk]].doublet0].Vectorize[generators[[lll]].(doublet + doublet0)]
, {kkk, 4}, {lll, 4}]] /. togoldstones;

ここではゴースト場のラグランジアンを、ゲージ場の gauge eigenstate で書いている。これは全てのゲージがファインマンゲージで固定しているので、mass eigenstate と gauge eigenstate のゲージ固定項がユニタリー変換でつながることを利用しているはずである。kinetic mixing のある場合にはこれが使えないので、kinetic mixing を解いた後のラグランジアンを gauge eigenstate として出発するのが良いと思われる。

Tips

[1]どうやら大文字小文字を区別し、間違えたオプションを書いてしまってもエラーを吐かずに間違えるだけの仕様のようなので、なるべくコピペで頑張る。
例

QuantumNumbers : OK
Quantumnumbers : not OK

It seems not allowed to use both capital and small characters in parameter names,

  MmajoS  : error 
  MMAJOS  : No probles

CheckMassSpectrum does not work for weyl fermions. All weyl fermions should be transformed into 4-components fields via WeylToDirac[] command.

[2]質問: WeylToDirac[] をしたあと、mathematica でラグランジアンを表示させたら、たくさん Private という文字がありましたが、どうすればよいでしょうか。

回答: fr ファイルのどこかで間違ったので直しましょう。例えば、 ClassName と Definitions で違う名前になっていませんか。

[3]質問: CheckKineticTermNormalisation[] をすると、非対角成分が発見されましたとのメッセージとともに項が表示されるのですが、よく見ると全微分になって消える項です。全微分は落とすというコマンドは無いのでしょうか？

回答：わかりません！

[4]SU(2)の基本表現になっている Vector-like な fermionをWeyl表現で作る場合、両方左巻きで定義するのは構わないが、そのとき、左巻きで定義した右巻きは反対称行列で適当にSU(2)の足を上下しないといけないので注意：

  W[2] == {
    ClassName        -> DUPchi,
    Chirality	     -> Left,
    SelfConjugate    -> False
  },

  W[3] == {
    ClassName        -> DUPxi,
    Chirality	     -> Left,
    SelfConjugate    -> False
  },

  W[4] == {
    ClassName        -> DDOWNchi,
    Chirality	     -> Left,
    SelfConjugate    -> False
  },

  W[5] == {
    ClassName        -> DDOWNxi,
    Chirality	     -> Left,
    SelfConjugate    -> False
  },


  W[11] == { 
      ClassName      -> DDMchi
    , Unphysical     -> True 
    , Chirality	     -> Left
    , Indices        -> {Index[SU2D]}
    , FlavorIndex    -> SU2D
    , SelfConjugate  -> False
    , QuantumNumbers -> {Y -> 1/2}
    , Definitions    -> { DDMchi[sp1_,1] :> DUPchi[sp1], DDMchi[sp1_,2] :> DDOWNchi[sp1] }
  },

  W[12] == { 
      ClassName      -> DDMxi
    , Unphysical     -> True 
    , Chirality	     -> Left
    , Indices        -> {Index[SU2D]}
    , FlavorIndex    -> SU2D
    , SelfConjugate  -> False
    , QuantumNumbers -> {Y -> -1/2}
(* これだとうまくいかない。
    , Definitions    -> { DDMxi[sp1_,1] :> DUPxi[sp1], DDMxi[sp1_,2] :> DDOWNxi[sp1] }
*)
(* こうする *)
    , Definitions    -> { DDMxi[sp1_,1] :> DDOWNxi[sp1], DDMxi[sp1_,2] :> -DUPxi[sp1] }
  },

それに伴い質量項も面倒になる。

   -MDDM DDMxi[sp,j].DDMchi[sp,k] Eps[j,k]
   -MDDM DDMxibar[sp,j].DDMchibar[sp,k] Eps[j,k]

たとえば gs というパラメタを定義するときに Value -> Sqrt[4 Pi aS] でも Definitions -> { gs -> Sqrt[4 Pi aS]} でもパラメタを定義できるが、mathematicaで計算するときに、前者は gs をそのまま使うが、後者は Sqrt[4 Pi aS] で置き換えてしまう。例えば、CKM行列なら、前者だと V_{CKM}のままで、後者だと sin cos の汚い格好ででてくる。質量行列を自分で定義する場合は後者が便利かもしれない。

[5]ParticleName にプライム付きの名前を指定するとUFOファイルをMadgraphに読ませるところで怒られる。
例えば、 W' は WP とかにする。